依旧是对鲁鹏老师的计算机视觉之三维重建课程 进行整理，在加上一些自己的理解。

在进行三维重建时，使用的都是齐次坐标（为什么要用齐次坐标？），故这里的变换都是针对图形的齐次坐标。

2D平面中的变换

· 等距变换

等距变换是指变化前后，图形中任意两点之间的距离保持不变。用矩阵表示则为：

当上式中的 时，表示保向变换（即欧式变换，我们日常中最常见平面中的平移、旋转）；当时，表示逆向变换（即镜像变换）。

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保向变换（欧式变换）

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保向变换主要对图形进行平移和旋转操作，其矩阵表示为：

其中，、分别表示平移的单位距离，表示旋转的角度。

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简单推导：

如上图，点旋转度后，到达处，假设、到坐标原点的距离都为，那么容易得到：

加上平移以后，即得到：

将上式使用矩阵表示，则为前面的欧式变换矩阵。

· 相似变换

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相似变换与欧式变换的差异主要是，相似变换可以进行均匀伸缩变化，即分别在、轴坐标上乘以一个相等的变伸缩倍数，该伸缩变换使用矩阵表示为：

所以，相似变换即可以由前面欧式变换中的平移、旋转和上面的伸缩变换一起得到：

该变换拥有4个自由度，分别是旋转角度、平移距离、和伸缩倍数。相似变换能够维持原图像中线段间的长度比值、夹角大小等性质。

· 仿射变换

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仿射变换相对于相似变换有着更多的自由度，该变换后，将不再维持线段间的夹角大小。但是，线段间的平行性、平行线段间的长度比值以及图形中面积的比值还是维持不变的。该变换使用矩阵表示为：

· 射影变换（透视变换）

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射影变换即为透视变换，在日常中我们通过眼睛看到的图像，其实就是使用的透视变换，尽管那是在3D空间中做的透视变换，但是其原理是差不多的。透视变换之后，平行线之间的关系将被破坏，但同一直线上的点，将仍旧在一条直线上，且共线点之间的交比仍旧维持。该变换使用矩阵表示为：

3D空间中的变换

在3D空间中的变换和2D平面中的变换没有本质区别，只是增加了一个维度。

· 相似变换

3D空间中的相似变换，可以分解为分别忽略、、轴后，进行2D平面上的相似变换，其使用矩阵表示为：

其中，

所以，在3D空间中进行相似变换，拥有平移、、，旋转、、以及缩放倍数共计7个自由度。

· 仿射变换

拥有12个自由度。

· 射影变换（透视变换）

拥有15个自由度。